\( \sin^2(x) \cos^2(x) \)의 적분

유도 및 계산

다음 적분을 구하세요:

\[ \int \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx \]

삼각함수 항등식 \( \sin^2 x = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \) 및 \( \cos^2 x = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(2x)) \)을 사용하여 적분식을 다시 씁니다:

\[ \int \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx = \dfrac{1}{4} \int (1 - \cos(2x))(1 + \cos(2x)) \, dx \]

합차 공식을 이용하여 우변 적분의 피적분 함수를 전개합니다:

\[ = \dfrac{1}{4} \int (1 - \cos^2(2x)) \, dx \]

삼각함수 항등식 \( \cos^2 \theta = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(2\theta)) \)에서 \( \theta = 2x \)일 때 대입하면 \( \cos^2(2x) = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(4x)) \)가 됩니다:

\[ = \dfrac{1}{4} \int \left( 1 - \dfrac{1}{2}(1 + \cos(4x)) \right) dx \]

괄호 안의 피적분 함수를 정리합니다:

\[ = \dfrac{1}{4} \int \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\cos(4x) \right) dx = \dfrac{1}{8} \int (1 - \cos(4x)) \, dx \]

기본 적분 공식인 \( \int 1 \, dx = x \) 및 \( \int \cos(kx) \, dx = \dfrac{1}{k}\sin(kx) \)를 이용하여 적분을 구합니다:

\[ = \dfrac{1}{8} \left( x - \dfrac{1}{4} \sin(4x) \right) + c \]

여기서 \( c \)는 적분상수입니다.

최종 결과는 다음과 같습니다: